Московский Государственный Технический Университет
Гражданской Авиации

Кабков П.К.	

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И 
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

	ПОСОБИЕ	
 по изучению дисциплины и 
выполнению контрольной работы 

для студентов III курса 
специальности 160901 
заочного обучения

Москва – 2006

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ»

Кафедра технической эксплуатации летательных аппаратов и 
авиадвигателей
Кабков П.К.	

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И 
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

ПОСОБИЕ
по изучению дисциплины и 
выполнению контрольной работы

для студентов III курса 
специальности 160901 
заочного обучения

Москва – 2006

Аннотация
Кабков П.К.
Исследование операций и системный анализ
Пособие по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы –М.: МГТУ ГА, 2006. – 
Данное пособие издается в соответствии с учебным планом для студентов III курса специальности 160901 заочного обучения.
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры      г. И методического совета

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ

Дисциплина «Исследование операций и системный анализ» изучается на III курсе заочного обучения по специальности 160901 «Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей».
Учебным планом по дисциплине предусмотрены: лекций – 6 часов, лабораторных работ – 8 часов, контрольная работа, экзамен.

2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Цель дисциплины «Исследование операций и системный анализ» - дать студентам необходимые знания и привить практические навыки по методам исследования операций и системного анализа в приложении к задачам, решаемым воздушным транспортом и его эксплуатационными предприятиями.
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
методы анализа технических систем и оценка их эффективности;
вероятностно-статистические методы анализа систем;
методы теории массового обслуживания, ориентированные на решение задач воздушного транспорта.
Должны уметь практически применять методы исследования операций и системного анализа, в том числе с применением ЭВМ.
Приобрести опыт оценки случайных параметров технических систем и их элементов, проверки статистических гипотез и оценки систем технической эксплуатации как систем массового обслуживания.

3. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

При самостоятельном изучении материала по данному курсу студенты должны работать с литературными источниками, указанными в настоящих методических указаниях. При использовании литературы надо учитывать, что ряд аналогичных вопросов излагается в нескольких источниках, их сравнение и осмысливание позволит более глубоко изучить материал изучаемой темы.
Рекомендуется вести конспекты изучаемой литературы.
Каждый студент должен выполнить контрольную работу, по которой имеются специальные методические указания, помещенные во второй части настоящего пособия. По контрольной работе проводится индивидуальное собеседование.
Качество изучения проверяется умением правильно и полно отвечать на вопросы самопроверки, приведенные в конце каждого раздела программы.
При изучении отдельных вопросов рекомендуется подбирать соответствующие примеры из опыта работы воздушного транспорта и его эксплуатационных предприятий.

4. ПРОГРАММА И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Системология и системный анализ
1.1.	Методология системного подхода. Основные понятия и определения. Внешние условия функционирования систем.
1.2.	Понятие «система», структура системы, виды структур. Большая и сложная система, подсистемы, примеры систем воздушного транспорта и их краткая характеристика.
1.3.	Эффективность систем и показатели их качества. Выбор критериев эффективности и показателей качества. Единичные и комплексные критерии. Аддитивные и мультипликативные критерии.

Методические указания по первому разделу дисциплины
При изучении этого раздела необходимо уяснить основные понятия системологии и системного анализа, осознать относительность понятий «система» и «подсистема». Рекомендуется проанализировать встречающиеся в практике работы студента примеры систем воздушного транспорта.
Вторая основная часть раздела – уяснение понятий эффективность и качество. Рекомендуется рассмотреть критерии эффективности и качества, применяемые к работе воздушного транспорта.
Литература [1], стр. 3-21; [2], стр. 8-30; [3], стр. 21-38.

Вопросы для самопроверки
1.	Сформулировать и пояснить основные понятия: система, структура систем, подсистема, большая и сложная система.
2.	Привести примеры систем воздушного транспорта и дать их краткую характеристику.
3.	Что означает эффективность системы и показатели качества систем?
4.	Привести примеры показателей эффективности и качества из области деятельности воздушного транспорта и его эксплуатационных предприятий.

Раздел 2. Вероятностно-статистические методы анализа систем и их элементов
1.1.	Полные и усеченные выборки. Определение параметров законов распределения по данным выборок.
1.2.	Определение видов законов распределения по статистическим данным. Критерии согласия.
1.3.	Статистические методы контроля. Выборочный метод и метод последовательного анализа.

Методические указания по второму разделу дисциплины
Основными вопросами этого раздела являются вопросы вероятностно-статистических методов анализа систем, основанных на результатах наблюдений. Рекомендуется ознакомиться с применяемыми на практике в предприятии методами. Существенное значение имеет уяснение сущности критериев согласия и их практиче6ское использование для анализа результатов наблюдения.
Литература: [1], стр. 22-50; [5], стр. 122-150.

Вопросы для самопроверки
1.	Что означают полные и усеченные выборки? Привести примеры из области анализа надежности элементов авиационной техники.
2.	Какие критерии согласия вы знаете? Как их применять на практике?
3.	Сущность статистических методов контроля качества партии.

Раздел 3. Анализ систем методами исследований операций
3.1.	Основные методы исследования операций: математическое программирование, моделирование по схеме случайных процессов, массового обслуживания и сетевого планирования. Их краткая характеристика.
3.2.	Методы математического программирования. Линейное, нелинейное и динамическое программирование и методы их решения.
3.3.	Моделирование по схеме Марковских случайных процессов. Уравнения Колмогорова и предельные вероятности состояний.
3.4.	Полумарковские процессы. Примеры полумарковских процессов.
3.5.	Системы массового обслуживания. Применение теории массового обслуживания для решения задач эксплуатации и ремонта техники.
3.6.	Метод сетевого планирования. Временный сетевой график. Оптимизация плана комплекса работ.

Методические указания по третьему разделу дисциплины
Раздел охватывает основные методы исследования операций. При изучении методов математического программирования следует уяснить сущность линейного, нелинейного и динамического программирования и уметь применять их к планированию работ на предприятии. Следует глубоко уяснить сущность Марковских и полумарковских процессов, имея в виду, что процессы технического обслуживания могут быть достаточно полно описаны моделями Марковских и полумарковских процессов.
Сказанное применимо также и к вопросам теории массового обслуживания.

Контрольная работа по дисциплине включает задачи по определению вероятности состояния с помощью уравнений Колмогорова и задач с использованием методов теории массового обслуживания. Необходимые теоретические сведения содержаться в методических указаниях по выполнению контрольной работы.
Литература: [1], стр. 51-80, [4], стр. 28-290.

Вопросы для самопроверки
1.	Сформулировать постановку задачи линейного, нелинейного и динамического программирования.
2.	Что такое Марковские и полумарковские процессы? Привести примеры из практики своей работы.
3.	Какие имеются системы массового обслуживания? Привести примеры из практики своей работы.
4.	Какие задачи решаются методом сетевого планирования?

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Целью контрольной работы по дисциплине «Исследование операций и системный анализ» является закрепление студентами навыков численного анализа Марковских случайных процессов с помощью уравнений Колмогорова и навыков решения задач с использованием методов теории массового обслуживания.
Подбор задач осуществлен применительно к практическим ситуациям, возникающим на воздушном транспорте и его эксплуатационных предприятиях.
Поскольку дисциплина является новой, то краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольной работы изложены в виде методических рекомендаций, помещенных в приложении.
Варианты задания даются для каждой задачи. Номер варианта определяется по сумме двух последних цифр зачетной книжки студента. Если сумма оказывается больше общего числа вариантов, то номер варианта определяется по последней цифре суммы.
Контрольная работа должна быть оформлена в соответствии со следующими требованиями:
объем расчетно-пояснительной записки – 10-15 страниц формата А4;
записка пишется разборчиво, темными чернилами, с полями для пометок рецензента и подписывается исполнителем работы;
страницы должны быть сброшюрованы и пронумерованы;
титульный лист оформляется согласно Приложению 1.
Пояснительная записка состоит из:
·	титульного листа;
·	технического задания (формулировка задания, исходные данные, необходимые расчетные зависимости);
·	основной части, включающей решение поставленных задач (необходимые пояснения по обоснованию хода решения задачи, расчеты, схемы, пояснения к схемам);
·	выводы по результатам решения каждой задачи;
·	список использованных источников.
В тексте пояснительной записки необходимо выделять заголовки разделов и подразделов, абзацы; формулы, схемы и графики должны быть пронумерованы и снабжены пояснительными надписями.
Схемы следует выполнять на отдельном листе того же формата, что и пояснительная записка.

2. ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Контрольная работа состоит из двух контрольных заданий:
первого контрольного задания, состоящего из трех задач по определению вероятностей состояний случайного процесса с помощью уравнения Колмогорова и второго задания, состоящего из трех задач с использованием методов теории массового обслуживания.
Теоретические сведения, необходимые для решения задач, приведены в приложениях 2 и 3.

2.1. Контрольное задание № 1.
А. Исходя из содержания задачи, установить возможные состояния системы и построить размеченный граф состояний.
Б. Составить по размеченному графу состояний систему дифференциальных уравнений Колмогорова и затем – систему алгебраических уравнений для финальных вероятностей состояний.
В. Путем решения системы алгебраических уравнений определить финальные вероятности состояний исследуемой системы.

Задача № 1.1.
Состояние технического устройства (ТУ) непрерывно контролируется в процессе эксплуатации. В любой момент времени ТУ может выйти из строя. В случае возникновения отказа немедленно осуществляется восстановление его готовности. И поток отказов и поток восстановления – простейшие. Параметр потока отказа - l, среднее время восстановления – tср, интенсивность восстановления – 
Рассчитать и построить графики зависимостей вероятности состояния готовности к работе (исправного состояния) – Рr от времени восстановления (времени восстановления отказов) - tср при различных значениях параметра потока отказов - l.
Значения величины l и tср для различных вариантов приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

№№ вар.	l, 1/ч	tср, ч	№№ вар.	l, 1/ч	tср, ч	
1.	10-2
10-4	2,4,6,
8,10	6.	10-3
10-5	2,4,6,
8,10	
2.	10-3
10-5	1,3,5,
7,9,	7.	10-2
10-4	1,3,5,
7,9	
3.	10-3
10-5	2,4,6,
8,10	8.	10-3
10-5	2,4,6,
8,10	
4.	10-2
10-4	1,3,5,
7,9	9.	10-3
10-5	1,3,5,
7,9	
5.	10-2
10-4	2,4,6,
8,10	10.	10-2
10-4	2,4,6,
8,10	

Задача № 1.2.
На борту самолета находится агрегат, который может отказать. Поток отказов - w.  Отказ обнаруживается только в процессе регламентного технического обслуживания. Среднее время между техническими обслуживаниями равно Тср, среднее время технического обслуживания – Тто, среднее время обнаружения неисправности равно Тто = [Тср – (Тср-1 + w)-1]
Определить финальные вероятности состояний агрегата. Значение величин w, Тср и Тто для различных вариантов приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2.

№№ Вариантов	w1 1/ч	Тто, ч	Тср, лет	
1
2
3
4	10-4
10-5
10-6
10-7	2,0	0,8	
5
6
7
8	10-4
10-5
10-6
10-7	4,0	1,0	
9
10
11
12	10-4
10-5
10-6
10-7	6,0	1,0	

Задача № 1.3.
Техническое устройство (ТУ) подвергается простейшему потоку отказов с интенсивностью l. Отказ обнаруживается не сразу, а через случайное время, распределенное по показательному закону с параметром n. Как только отказ обнаружен, производится осмотр ТУ, в результате которого он либо отправляется в ремонт (вероятность этого r), либо списывается и заменяется новым. Время осмотра случайно и описывается показательным законом и параметром g, время ремонта – показательное с параметром m.
Время замены списанного ТУ новым – показательное с параметром k.
Найти финальное состояние ТУ и определить какую долю в среднем ТУ будет работать нормально и какую долю времени в среднем ТУ будет находиться с необнаруженным отказом.
Значения параметров для различных вариантов приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

№№ вар	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
l, 1/ч	0,01	0,01	0,02	0,02	0,01	0,01	0,02	0,02	0,01	0,01	
n, 1/ч	1,0	2,0	1,0	2,0	1,0	2,0	1,0	2,0	1,0	2,0	
r	0,8	0,8	0,8	0,8	0,9	0,9	0,9	0,9	0,8	0,8	
g, 1/ч	10,0	10,0	10,0	10,0	5,0	5,0	6,0	6,0	4,0	4,0	
m, 1/ч	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	
k, 1/ч	2,0	2,0	0,5	0,5	2,0	2,0	0,5	0,5	1,0	1,0	

2.3. Контрольная работа № 2.
А. Исходя из содержания задачи, установить тип системы массового обслуживания по характеру входящего потока, распределению времени обслуживания, числу обслуживающих приборов, длины очереди.
Б. Установить, какие характеристики рассматриваемой СМО должны быть определены и, пользуясь приведенными в Приложении справочными формулами, определить их характеристики.
В. Сделать выводы по результатам расчетов.
Задача № 2.1.
Авиационная касса имеет два окошка, в каждом из которых продаются авиабилеты в два пункта: в Саратов и в Волгоград. Потоки пассажиров, приобретающих билеты в Саратов и в Волгоград, одинаковы по интенсивности, которая равна l0. Среднее время обслуживания пассажира (продажи ему билета) равна. Поступило рационализаторское предложение: для уменьшения дли очередей и времени пребывания в них (в интересах пассажиров) сделать обе кассы специализированными: в первой продавать билеты только в Саратов, а во второй – только в Волгоград. Считая потоки простейшими, проверить разумность такого предложения для значений параметров, приведенных в таблице 2.1. 
Таблица 2.1.

№№ вар	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
l0 1/мин	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	
, мин	0,45	0,9	1,3	1,8	2,5	0,5	1,0	1,5	2	2,5	

Задача № 2.2.
Авиационная техническая база (АТБ) имеет одно место для обслуживания самолетов, которые прибывают на обслуживание случайным образом и, если их не могут сразу обслужить, они становятся в очередь. На длину очереди ограничений нет.
Промежуток времени t между двумя последовательными прибытиями самолетов удовлетворяет экспоненциальному закону с параметром l. Время обслуживания на АТБ также имеет экспоненциальное распределение с параметром m. Значения l и m приведены в таблице 2.2.
Определить:
·	вероятность простоя АТБ – Р0,
·	среднюю длину очереди – ,
·	среднее время ожидания в очереди – , 
·	общее время обслуживания АТБ – .
 Таблица 2.2.

№№ вар	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
l, 1/сутки	1	2	3	4	5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	
m, 1/час	1,0	0,1	0,15	0,2	0,25	0,15	0,15	0,15	0,2	0,25	

Задача № 2.3.
В АТБ в ангаре имеется n мест для технического обслуживания самолетов и перед ангаром m стоянок для ожидания обслуживания. Поток прибывающих на обслуживание самолетов – пуассоновский с параметром l, время технического обслуживания – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с параметром m. Варианты значений n, m, l и m приведены в таблице 2.3.
Определить:
·	вероятность простоя АТБ – Р0,
·	вероятность того, что прибывающему самолету будет отказано в обслуживании – Ротк,
·	среднее число занятых мест обслуживания - ,
·	среднее число самолетов, стоящих в очереди на обслуживание – ,
·	среднее время оживания в очереди - ,
·	общее время, затраченное на обслуживание – .

Таблица 2.3.

№№ вар	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	
n	1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4	
m	3	4	5	6	2	3	4	5	1	2	3	4	
l, 1/сутки	3,5	4,5	5,5	6,5	2,5	3,5	4,5	5,5	1,5	2,5	3,5	4,5	
m, 1/час	1,15	0,2	0,25	0,3	0,15	0,15	0,2	0,25	0,15	0,15	0,15	0,2	
Приложение 1.

Московский государственный технический университет гражданской авиации
Кафедра технической эксплуатации летательных аппаратов и авиадвигателей	

Контрольная работа

(зачтена, не зачтена)	

Рецензент

(степень, звание, ф.и.о.)	

(подпись, дата)	

Пояснительная записка к контрольной
работе по дисциплине
«Исследование операций и системный анализ»

Шифр_______________

Работу выполнил
Студент_________________
________________________
(подпись, дата)

Приложение 2.

Методические рекомендации по выполнению контрольного задания № 1.
При рассмотрении Марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем переходы системы S из состояния в состояние рассматриваются как происходящие под влиянием некоторого потока событий. Плотности вероятностей переходов получают смысл интенсивностей lij соответствующих потоков событий – переходов скачками из состояния Si в состояние Sj
Если система имеет конечное число состояний S1, S2,…, Sn, то для нахождения вероятностей этих состояний Р1(t), Р2(t),…, Рn(t) необходимо решить систему дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова):
                                                               (п.2.1.)
i=1, 2,… n
Уравнения п.2.1. легко составить с использованием размеченного графа состояний. На рис. п.2.1. приведен примет размеченного графа состояний:

1

а21

а13

а12

3

2

а32

                                           Рис. п.2.1.
Для составлении уравнение Колмогорова пользуются следующим мнемоническим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятностей, идущих в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятностей, идущих из данного состояния.
Для размеченного графа состояний, приведенного на рис. п.2.1., система дифференциальных уравнений имеет вид:
                                                         (п.2.2.)
Финальные вероятности состояний определяются решением линейных алгебраических уравнений, полученных из системы п.2.2., если в ней положить левые части равными нулю.
                                                                         (п.2.3.)
Если добавить к этой системе нормировочное условие
                                                                                    (п.2.4.)                  
то одно из уравнений системы п.2.3. можно исключить (целесообразно исключить самое громоздкое) и решать систему известными методами алгебры.
Приложение 3.

Методические рекомендации по выполнению контрольное задания № 2.
Системы массового обслуживания (СМО) классифицируются по характеру входящего потока Пвх, распределению времени обслуживания Тоб, числу обслуживающих приборов Nпр и емкость накопителя (длина очереди) Енак.
В настоящем задании используются СМО с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания, одноканальные (Nпр = 1) и многоканальные (Nпр = n) СМО, системы без ожидания (Енак = 0), с ожиданием с ограниченной длиной очереди (Енак = m) и без ограничения длины очереди (Енак = ∞).
Показателями эффективности или показателями производительности СМО являются те характеристики, которые представляют интерес для пользователя и самой СМО. Такими характеристиками являются:
·	вероятность простоя СМО – Р0 (все каналы обслуживания свободны, заявок нет),
·	вероятность отказа в обслуживании – Ротк (все каналы обслуживания и все места в очереди для СМО с ограниченной очередью заняты),
·	среднее число занятых мест обслуживания - ,
·	длина очереди - ,
·	время ожидания в очереди - ,
·	общее время пребывания заявок в очереди – .
Важнейшим параметром системы является отношение входящего потока заявок l к интенсивности обслуживания m

Расчетные формулы для определения основных характеристик СМО различных типов приведены в таблице п.3.1.

Таблица п.3.1.

Расчетные формулы основных характеристик СМО
№№
п/п	Характеристики СМО	Nпр = 1, Енак = 0	Nпр = 1, Енак = m	Nпр = 1, Енак = ∞).
(r<1) 	Nпр = n, Енак = 0	Nпр = n, Енак = m	
1	2	3	4	5	6	7	
1.	Вероятность простоя – Р0						
2.	Вероятность отказа– Ротк	
при 
		0			
3.	Среднее число занятых каналов - 	-	-	-			
4.	Длина очереди - 	0			0		
5.	Среднее время ожидания в очереди - 	0			0		
6.	Среднее время пребывания в системе – .						

Литература

Основная
1.	Кабков В.П. Исследование операций и системный анализ: Учебное пособие. – М.: МГТУ ГА, 2005,
Дополнительная
2.	Васильев В.И., Романов Л.Г., Червоный А.А. Основы теории систем. Конспект лекций. М.: МГТУ ГА, 1994,
3.	Голубев И.С. и др. Исследование операций в гражданской авиации. М.: Транспорт, 1980,
4.	Вентцель Е.С. Исследование операций. М.:Сов. Радио, 1972,
5.	Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: ГИФМЛ, 1958.