Фазовая частотная функция, как это следует из АФЧХ (рис. 4.11а)
     .
Нетрудно выписать выражения для остальных частотных функций; ЛЧХ приведены на рис.4.11б. 
Переходная функция 
h (t )= k ( 1 – cos ω1t ),   .
Переходная характеристика (рис. 4.11в) представляет собой график гармонических колебаний.
Апериодическое звено второго порядка ( ξ = 1). 
Передаточную   функцию (4. 74) при ξ≥ I можно преобразовать к виду
,
где                                              .
      Апериодическое звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. 
Оно не относится к числу элементарных звеньев.
      Форсирующее звено второго порядка. Так называют звено, которое описывается уравнением
                                    (4.76)
или передаточной функцией

                                          W(s)=k(T2s2+2ξTs+1)                     (4.77)

при условии, что ξ  < 1.  
  Не представляет трудности  получить выражения для  частотных и временных функций и построить соответствующие характеристики.     
    На рассмотрении этих вопросов останавливаться не будем. Заметим только, что после сопрягающей частоты ЛАЧХ имеет наклон +40 дБ/дек и ЛФЧХ получается зеркальным отражением относительно оси частот ЛФЧХ соответствующего колебательного или консервативного звена. Если ξ ≥ 1, то звено с передаточной функцией (4.77) не относится к числу элементарных: его можно представить как последовательное соединение двух форсирующих звеньев первого порядка.
Неминимально-фазовые звенья. Звено называют минимально-фазовым, если все нули и полюса его передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные части. Звено называют неминимально-фазовым, если хотя бы один нуль или полюс его передаточной фикции имеет положительную вещественную часть.
Напомним, что нулём передаточной функции W(s)=R(s)/Q(s), где R(s) и Q(s) - полиномы от s , называют корни уравнения R(s)=0,а полюсами - корни уравнения Q(s).
Все рассмотренные выше элементарные звенья относят к минимально-фазовым. Примерами неминимально-фазовых элементарных звеньев являются звенья с передаточными функциями:

                              ,     ,

,

).

Рис. 4.12 Характеристики неминимально-фазовых звеньев

 Величина сдвига фазы по модулю у неминимально-фазового звена больше, чем у минимально-фазового, имеющего одинаковую с неминимально-фазовым звеном АЧХ. 
На рис. 4.12 приведены ЛЧХ неминимально-фазовых звеньев с передаточными функциями W(s)=k/(Ts-1)  (рис.4.12а) и W(s)=k(Ts-1) (рис.4.12б). ЛАЧХ этих звеньев совпадают с ЛАЧХ апериодического (рис. 4.8б) и форсирующего (рис.4.9б) звеньев. Сдвиг фазы у минимально-фазовых звеньев меньше: фазовые частотные функции апериодического и форсирующего звеньев по абсолютной величине не превышают значения π/2 , а фазовые частотные функции соответствующих неминимально-фазовых звеньев достигают по абсолютной величине значения π.
К неминимально-фазовым звеньям относят также звено чистого запаздывания с передаточной функцией
W(s)= ke-τs.                     (4.78)
Частотная передаточная функция

W(jω)= k e-jτω = k ( cosωτ – j sinωτ ).

               Рис.4.13. Характеристики эвена чистого запаздывания
Для остальных частотных и временных функций имеем:
U(ω) = k cosωτ, V(ω ) = k sinωτ, A(ω) = k, φ(ω) = -ωτ,
                       A(ω) = 20lgk, h(t) = k1(t-τ), ω(t) = kδ(t-τ).
АФЧХ (рис 4.13а) - окружность с центром в начале координат и радиусом k. Каждой точке этой характеристики соответствует бесконечное множество значений частот. ЛАЧХ (рис.4.13б) совпадает с ЛАЧХ безынерционного звена с передаточным коэффициентом k, ЛФЧХ (рис. 4.13б) - с графиком функции  
φ(ω) = -ωτ.

Переходная характеристика приведена на рис. 4.13.в
6. Структурные схемы САУ и основные правила их преобразования
Структурной схемой называют графическое изображение математической модели автоматической системы управления в виде соединений звеньев. Звенья могут быть пронумерованы, их передаточные функции заданы, а уравнения или характеристики представлены  вне структурной схемы.
Входные и выходные сигналы системы записывают в виде изображений, если передаточные функции задаются в форме изображений. Если же передаточные функции задают в операторной форме или звенья описываются дифференциальными уравнениями, то входные и выходные переменные представляют в виде функции-оригинала как функции времени.
Сравнивающие или суммирующие (рис. 4.14) элементы изображают в виде круга, разделенного на секторы. В сравнивающем элементе сектор, на который подается "вычитаемое" или заштриховывается или перед соответствующим входом ставят знак минус.
Структурную схему составляют на основании блок-схемы или полученных уравнений динамики. Далее задача заключается в том, что на основе определенных правил преобразования различных соединений звеньев необходимо получить общую передаточную функцию САУ, на основе которой рассматриваются вопросы устойчивости, анализа качества, частичного синтеза и т.д. 

Последовательное соединение звеньев (рис. 4.15а). При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего эвена является входным воздействием последующего звена. (Далее в некоторых функциях упущен аргумент s).

Рис.4.14.Суммирующее звено          Рис.4.15. Последовательное соединение 

При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев заменяют одним звеном (рис. 4.15б) с  передаточной функцией W(s), равной произведению передаточных функций отдельных звеньев
.
         Запишем уравнение звеньев
                       y1=W1y0,   y2=W2y1,         …, yn=Wnyn-1.
Исключив из этой системы переменные у1,у2,...,уn-1, 
получим        
                                               yn=W1W2 …Wny0.
Откуда                                          .

Параллельное соединение звеньев (рис. 4.16а). Цепь из параллельно соединенных звеньев можно заменить одним звеном (рис.4.16б) с передаточной функцией W(s), равной сумме передаточных функций, входящих в нее звеньев: .
 Для вывода этой формулы составим уравнение для каждых звеньев
y1=W1(s)y0,  y2=W2(s)y0,... ,  уn=Wn(s)y0.

Рис.4.16. Параллельное соединение
Сложив эти уравнения и учитывая, что  , получим  искомую формулу.
Звено, охваченное обратной связью (рис.4.17а). 
Звено является охваченным обратной связью, если его выходной сигнал непосредственно через какое-либо другое звено подается на его вход. Если сигнал Уос обратной связи вычитается из входного воздействия, то обратную связь называют отрицательной. Если сигнал Уос обратной связи складывается с входным воздействием, то обратную связь называют положительной.
Передаточная функция W3  замкнутой цепи с отрицательной обратной связью, т.е. звена, охваченного отрицательной обратной связью, равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи
.
 Для вывода этой формулы выпишем уравнения для каждого звена
У=Wne,
Уоc=WocУ,
е=Уо-Уос.
Исключив переменные  e  и  уос  из приведенной системы, получим уравнение  
                      y=Wn(y0-Wocy) или (1+WnWoc)y=Wny0. 
   Отсюда
, где W=WnWос .
Если обратная связь положительна, то аналогично получим
.
Передаточная функция замкнутой цепи с положительной обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу минус передаточная функция разомкнутой цепи. Если передаточная функция  Woc=1, то обратная связь называется единичной и структурная схема изображается так, как показано на рис. 4.17в. передаточная функция   W3    при этом принимает вид    W3=Wn/(1±W).

Рис 4.17. Звено, охваченное обратной связью

      Перенос сумматора (рис. 4.18а). При переносе сумматора по ходу сигнала необходимо добавить звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рис.4.18б). Если сумматор переносится против хода сигнала, то необходимо добавить звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переноситься сумматор 
Рис.4.18. Перенос сумматора

Перенос узла (рис. 4.19а). Если узел переносится по ходу сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции эвена, через которое переносится узел (рис. 4.19б). Если узел переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции эвена, через которое переносится узел (рис.4.19в).

Рис.4.19.  Перенос узла

Передаточная функция многоконтурной системы. Замкнутую систему (структурную схему) называют многоконтурной, если при ее размыкании получается цепь, содержащая параллелью или обратные связи, или, иначе, замкнутую систему называют многоконтурной, если она помимо главной обратной связи содержит местные обратные или параллельные связи. Говорят, что многоконтурная система имеет перекрещивающиеся связи, если контур обратной или параллельной связи охватывает участок цепи, содержащий только начало или конец другой цепи обратной или параллельной связи (рис. 4.20).

Pис.4.20.Перекрещивающиеся связи

Для вычисления передаточной функции многоконтурной системы необходимо прежде всего перестановкой и переносом узлов и сумматоров освободиться от перекрещивающихся связей. Затем, используя правила преобразования структурных схем преобразовать ее в одноконтурную систему, передаточную функцию которой легко вычислить, согласно сформулированным правилам.

             Рис.4.21.Пример преобразования структурной схемы
Пример. Найдем передаточные функции системы, приведенной на рис. 4.21а, по входам g и f и выходам y  и e .
Эта система является многоконтурной с перекрещивающимися связями. Перенеся и переставив сумматоры, ее можно привести к многоконтурной системе без перекрещивающихся связей (рис.4.21б). После замены параллельно соединенных звеньев и звена, охваченного обратной связью, эквивалентными звеньями с передаточными функциями W13 = W1 +W3; W24 = W2/(1-W2W4),получим одноконтурную схему (рис. 4.21в).
При вычислении передаточной функции по входному воздействию q  полагаем f=0. Согласно правилу вычисления передаточной функции одноконтурных систем, имеем
,
.
При вычислении передаточной функции по входному воздействию f   полагаем q=0. При этом сравнивающее звено становится инвертирующим звеном с передаточной функцией, равной -1. В этом случае структурную схему можно представить так, как это показано на рис. 4.21в. Из этой схемы очевидно
,
.
Частотные характеристики. Передаточные функции разомкнутых одноконтурных, а иногда и многоконтурных систем преобразовываются к виду
,
где  Wi (s) - передаточные функции элементарных звеньев. В этом случае модули и аргументы частотных передаточных функций системы и звеньев:
,  ,
,        .
В соответствии с правилом модулей и аргументов комплексные числа связаны между собой соотношениями
,
.
Вещественные и мнимые частотные функции системы определяются равенствами
.

Пользуясь полученными соотношениями, можно построить АФЧХ. Из предыдущих соотношений очевидно, что
,
где   L(ω) и Li(ω) - логарифмические амплитудные частотные функции и по определению L(ω)=20lgA(ω) и Li(ω)=20lgAi(ω).
На основании последней зависимости сформулируем порядок построения ЛАЧХ и проиллюстрируем на примере. Пусть задано

.

Логарифмическая амплитудная частотная функция определяется как

.

Асимптотическая ЛАЧХ рассматриваемой системы состоит из четырех асимптот (рис. 4.22) и строится следующим образом.
Рассчитаем сопрягающие частоты
; ; .
Здесь ω1,ω2 и ωз - сопрягающие частоты апериодического, форсирующего и колебательного звеньев соответственно.
В рассматриваемом примере при ω <ω1 , где .

Рис.4.22.Построение асимптотической ЛАЧХ
Это уравнение первой асимптоты. Согласно этому уравнению, первую асимптоту проводят через точку с координатами ω=1 и L=20lgK с 
наклоном – 20νдБ/дек. Она кончается на первой сопрягающей частоте.
При ω1≤ω≤ω2 аналогично имеем
.
Это уравнение второй асимптоты. Ее наклон изменяется на -20 дБ/дек и обусловливается апериодическим звеном. Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты согласно ее уравнению с наклоном (-дБ/дек.
      При 
.
Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон изменяется на 20 дБ/дек и обусловливается форсирующим звеном. Третью асимптоту проводят от конца в которой асимптоты до третьей сопрягающей  частоты с  наклоном -ν20 дБ/дек.
      При 
.
Это уравнение последней, четвертой   асимптоты. Ее наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на -40 дБ/дек и обусловливается колебательным звеном.
Теперь нетрудно сформулировать общее правило построения асимптотической ЛАЧХ системы с передаточной функцией вида
,
где   Wi(s)   - передаточные функции элементарных звеньев.
Правило построения асимптотической ЛАЧХ.
I. Вычисляют сопрягающие частоты и значение 20lgk, где   k - передаточный коэффициент системы, равный произведению передаточных коэффициентов звеньев   .
2.. Строят первую асимптоту, которую проводят до первой
сопрягающей частоты через точку с координатами ω=1 и   с наклоном -ν20 дБ/дек. Здесь ν равно разности между числами интегрирующих и дифференцирующих звеньев.
3. Проводят вторую асимптоту от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты. Ее наклон изменяется в зависимости от вида передаточной функции звена.
4. Строят каждую последующую асимптоту аналогично второй. Изменение наклона (i + 1)-й асимптоты зависит от того, сопрягающей частотой какого элементарного эвена является  w.
Если какая-либо сопрягающая частота является кратной и ее кратность равна   l  , т.е. имеется   l   одинаковых элементарных звеньев, то изменение наклона при этой частоте в l раз больше, чем при соответствующей частоте элементарного звена.
Для колебательных звеньев с малым коэффициентом демпфирования (< 0,4), асимптотическая ЛАЧХ должна быть скорректирована в окрестности сопрягающей частоты по точным формулам.

              7.Математические модели САУ на основе уравнений состояния
Метод переменных состояния основан на понятии состояние системы. Состояние динамической системы описывается совокупностью физических переменных X1(t),X2(t)...,Xn(t), характеризующих поведение системы в будущем при условии, если известно состояние в исходный момент времени и приложенные к системе воздействия.
Рассмотрим систему, показанную на рис.4.23, описываемую переменными состояния X1(t),X2(t),...,Xn(t), позволяющими по начальным значениям переменных X1(to),X2(t),...,Xn(t) (в начальный момент времени to) и заданным воздействиям U1(t) и U2(t) при t≥to  определить будущие значения переменных состояния и выходных переменных.
Поясним понятие переменных состояния на простом примере объекта (рис. 4.24), состоящего из груза с массой m, подвешенного на пружине с коэффициентом упругости R и двигающегося в цилиндре с коэффициентом трения f . Дифференциальное уравнение этой системы можно представить в виде
 .                                    (4.79)
В качестве переменных состояния введем переменные
 .                                                 (4.80)
Рис. 4.23. Пример системы, описываемой переменными состояния X1, X2,...,Xn :
U1(t), U2(t) - входные переменные; 
y1(t), y2 (t) - выходные переменные.

Рис. 4.24  . Пример, поясняющий понятие переменной состояния

Подставляя выражения (4.80) в уравнение (4.79), получим

и, учитывая выражения (4.80), можно написать
.

Система уравнений 1-го порядка (4.81) и является системой уравнений в переменных состояния для рассматриваемого объекта.
В общем случае для нелинейной системы уравнения в переменных состояния имеют вид

.                                 ( 4.82)

Если же предположить, что в (4.82) функции  f1, f2, ... , fn линейны относительно переменных x1, ... , xn, u1, ... ,un  и не зависят от времени t , то их можно привести к виду

 .        (4.83)

В матричной форме уравнения (4.83) имеют вид
 .                            (4.84)

Матрицу-столбец, содержащую все переменные состояния в правой части уравнения (4.84), называют вектором состояния и обозначают просто через x, т.е.                                         .
Вектор входных сигналов обозначают через u . Таким образом, в компактной векторно-матричной форме система может быть описана при помощи уравнения
                              ,                                (4.85)
где А- квадратная ( n x n ) матрица:
,

В - прямоугольная ( n х m ) матрица:
.

Для полного описания системы к уравнениям состояния (4.84) или (4.85) необходимо добавить уравнения, устанавливающие связь между переменными состояния x1, ..., xn и выходными переменными y1, …, yn, которая обычно выражается в виде системы линейных алгебраических уравнений:

или в векторно-матричной форме
y=cх,                              (4.86)
При этом матрицу-столбец

называют выходным вектором, а матрицу   c(p,n)   -матрицей выхода:
                                               .
Решение векторного дифференциального уравнения (4.85) можно получить при помощи такого же метода, который применяют для решения уравнения 1-го порядка. Действительно, рассмотрим уравнение 1-го порядка:
,	                              (4.87)
где x и u - скалярные функции времени, а a и b - постоянные величины. Преобразуя уравнение (4.87) по Лапласу, получим
                             sx(s)-x(0)= ax(s)+bu(s),
откуда	                         .                      (4.88)
Взяв обратное преобразование Лапласа от уравнения (4.88), решение найдем в виде
          .                          (4.89)
Решение векторного уравнения (4.85) определим аналогичным образом, а именно:
         sx(s) -х(0)= Ax(s) - Bu(s),                            (4.90)
или
   x(s)=[sI-A]-1 x(0)+[sI-A]-1 Bu(s),                  (4.91)
где I -единичная ( n x n ) матрица:
.
По аналогии с решением (4.89) получим следующее решение неоднородного векторно-матричного уравнения (4.85):
             ,                                    (4.92)

где матричная функция eAt  может быть представлена в виде ряда, т.е.
,
сходящегося для всех конечных значений t.
Общим решением однородного уравнения (4.86) при u(t)=0, описывающим свободное колебание системы, является
           
                     Xсв(t)=eAtx(0).                                             (4.93)

 Функцию
 .                                                 (4.94)
называют переходной   или фундаментальной  матрицей. В развернутой форме выражение (4.93) имеет вид
.

Откуда
,  i=1,2,…,n .  (4.95)
Очевидно, что выражение (4.95) описывает изменение i-й составляющей вектора состояния xi(t), вызываемое начальными условиями xi(0), а каждый из членов выражения в правой части

представляет собой изменение i -й составляющей вектора состояния xi(t), вызываемое j -м начальным условием.
Следовательно, каждый из элементов φij(t) переходной матрицы φ(t) можно рассматривать как реакцию с i-й переменной состояния при xj(0)=1 и нулевых начальных значениях всех остальных переменных состояния.
Уравнение (4.92) с учетом выражения (4.94) можно представить также в виде суммы общего и частного решения
,                           (4.96)
где   хb  - реакция системы на вектор управления u(t); при учете решения (4.92)
.
Составляющая xb(t)  является частным решением дифференциального векторно-матричного уравнения (4.85).
      Методы вычисления переходной матрицы. Вычисление переходной матрицы φ(t) в случае, когда матрица А не зависит от времени, можно выполнить одним из следующих методов.
Метод разложения в ряд. Переходную матрицу можно представить в виде бесконечного ряда
.
Ограничившись конечным числом членов ряда и произведя   их
суммирование, найдем приближенное выражение для φ(t).
Метод, основанный на определении собственных значений матрицы. 
Применяя к выражению (4.94) преобразование   Лапласа, получим

и, следовательно,
.
Определение φ(t) сводиться к вычислению собственных значений матрицы А.
Рассмотрим пример вычисления переходной матрицы. Пусть уравнения системы имеют вид
.
В этом случае
.
В результате обращения матрицы получим
.
Пусть матрица А имеет действительные и различные собственные значения
; ,
где a2>4b.
Тогда
.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Теория автоматического управления. Ч.1; Под ред А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1977, 304с.
2.	Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1985. 536 с.
3.	Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1989. 304 с.
            4. Глухов В.В.  Теория автоматического управления . Основы теории и элементы. Часть 1. М. РИО МИИГА, 1991.70 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ………………………………………………………………3
1.	Основные понятия и определения……………………………………4
2.	Классификация систем управления……………………….…………6
3.	Примеры систем автоматического управления .................................8
4.	Математические модели и характеристики систем автоматического управления и их элементов……………………………………...………..10
               4.1.   Уравнения динамики и статики САУ………………………..10
4.2.	Методика составления дифференциальных уравнений        12
4.3.	Примеры составления уравнений динамики……………......13
4.4.	Формы записи линейных дифференциальных уравнений…20
4.5.	Виды передаточных функций САУ………….……………... 21
         5. Характеристики САУ и их элементов ……………………………...23
               5.1.   Частотные характеристики...………………………………... 23
               5.2.   Временные характеристики…………………………………..27
                5.3.  Элементарные звенья САУ и их характеристики…………...30
          6.  Структурные    схемы     САУ    и   основные     правила     их 
преобразования …………………………………………………………...44
          7. Математические модели САУ на основе уравнений состояния….52

Литература                                                                                                59